本文将详细介绍如何使用 Z3 定理证明器在 Python 中解决冰冻湖寻路问题。我们将详细讲解如何将问题转化为 Z3 可以理解的约束条件，并提供完整的代码示例，帮助读者理解如何使用 Z3 找到从起点到终点的安全路径。本文重点在于如何正确建模问题，以及如何使用 Z3 的 API 来表达约束和求解。
问题描述
给定一个由 1（安全）和 0（不安全）组成的矩阵，代表一个冰冻湖。目标是找到一条从起始位置到目标位置的安全路径，即路径上的所有单元格都必须是安全的（值为 1）。 只能在相邻的单元格之间移动（上、下、左、右）。
解决方案
解决此问题的关键在于正确地将问题建模为 Z3 可以理解的约束。我们不应该为矩阵中的每个单元格创建符号变量，而是应该为路径本身创建变量。这允许我们直接约束路径的有效性。
1. 定义路径变量
首先，我们需要定义表示路径的变量。 由于我们不知道路径的长度，我们可以假设最坏的情况是路径包含矩阵中的所有单元格。 因此，我们可以为路径中的每个可能的位置创建整数变量，表示其行和列坐标。
from z3 import * def find_path(matrix, start, end): # Define the dimensions of the matrix rows = len(matrix) cols = len(matrix[0]) # symbolic look-up into the matrix: def lookup(x, y): val = 0 for r in range(rows): for c in range(cols): val = If(And(x == r, y == c), matrix[r][c], val) return val # Create a path, there are at most rows*cols elements path = [] for r in range(rows): for c in range(cols): path.append([FreshInt(), FreshInt()])
在这里，path 是一个列表，其中每个元素都是包含两个 FreshInt() 变量的列表，分别代表行和列的索引。 FreshInt() 创建一个新的整数变量，其名称与之前创建的任何变量不同。 lookup 函数用于查找矩阵中给定坐标的值。
2. 添加约束
接下来，我们需要添加约束来确保路径有效。 这包括以下内容：
- 路径的第一个元素必须是起始位置。
- 路径中的每个后续元素必须与前一个元素相邻。
- 路径中的每个元素必须是安全的（值为 1）。
- 路径必须最终到达目标位置。
- 路径中的所有位置都是唯一的。
s = Solver() # assert that the very first element of the path is the start position: s.add(path[0][0] == start[0]) s.add(path[0][1] == start[1]) # for each remaining path-element, make sure either we reached the end, or it's a valid move prev = path[0] done = False for p in path[1:]: valid1 = And(p[0] >= 0, p[0] < rows, p[1] >= 0, p[1] < cols) # Valid coords valid2 = Or( And(p[0] == prev[0]-1, p[1] == prev[1]) # Go up , And(p[0] == prev[0]+1, p[1] == prev[1]) # or Go down , And(p[0] == prev[0], p[1] == prev[1]+1) # or Go right , And(p[0] == prev[0], p[1] == prev[1]-1)) # or Go left valid3 = lookup(p[0], p[1]) == 1 # The cell is safe # Either we're done, or all valid conditions must hold s.add(Or(done, And(valid1, valid2, valid3))) prev = p # We're done if p is the end position: done = Or(done, And(p[0] == end[0], p[1] == end[1])) # Make sure the path is unique: for i in range(len(path)): for j in range(len(path)): if j <= i: continue s.add(Or(path[i][0] != path[j][0], path[i][1] != path[j][1]))
代码解释：
- s = Solver() 创建一个 Z3 求解器实例。
- s.add(path[0][0] == start[0]) 和 s.add(path[0][1] == start[1]) 约束路径的第一个元素为起始位置。
- 循环遍历路径中的其余元素，并添加约束以确保每个元素都与前一个元素相邻，并且是安全的。
- valid1 确保坐标有效。
- valid2 确保移动是有效的（上、下、左、右）。
- valid3 确保单元格是安全的。
- s.add(Or(done, And(valid1, valid2, valid3))) 添加约束，要求要么已经到达终点，要么所有有效条件都成立。
- done = Or(done, And(p[0] == end[0], p[1] == end[1])) 检查当前位置是否是终点。
- 最后的嵌套循环添加约束，确保路径中的所有位置都是唯一的。
3. 求解并提取路径
最后，我们使用 Z3 求解器来查找满足所有约束的路径。 如果找到这样的路径，我们将从模型中提取它。
# Compute the path: if s.check() == sat: model = s.model() walk = [] for p in path: cur = [model[p[0]].as_long(), model[p[1]].as_long()] walk.append(cur) if (cur[0] == end[0] and cur[1] == end[1]): break return walk else: return None
代码解释：
- s.check() == sat 检查求解器是否找到满足所有约束的解。
- model = s.model() 获取模型，该模型包含变量的赋值。
- 循环遍历路径，并从模型中提取每个位置的坐标。
- 如果当前位置是终点，则停止提取路径。
- 返回提取的路径。
4. 完整代码和示例用法
from z3 import * def find_path(matrix, start, end): # Define the dimensions of the matrix rows = len(matrix) cols = len(matrix[0]) # symbolic look-up into the matrix: def lookup(x, y): val = 0 for r in range(rows): for c in range(cols): val = If(And(x == r, y == c), matrix[r][c], val) return val # Create a path, there are at most rows*cols elements path = [] for r in range(rows): for c in range(cols): path.append([FreshInt(), FreshInt()]) s = Solver() # assert that the very first element of the path is the start position: s.add(path[0][0] == start[0]) s.add(path[0][1] == start[1]) # for each remaining path-element, make sure either we reached the end, or it's a valid move prev = path[0] done = False for p in path[1:]: valid1 = And(p[0] >= 0, p[0] < rows, p[1] >= 0, p[1] < cols) # Valid coords valid2 = Or( And(p[0] == prev[0]-1, p[1] == prev[1]) # Go up , And(p[0] == prev[0]+1, p[1] == prev[1]) # or Go down , And(p[0] == prev[0], p[1] == prev[1]+1) # or Go right , And(p[0] == prev[0], p[1] == prev[1]-1)) # or Go left valid3 = lookup(p[0], p[1]) == 1 # The cell is safe # Either we're done, or all valid conditions must hold s.add(Or(done, And(valid1, valid2, valid3))) prev = p # We're done if p is the end position: done = Or(done, And(p[0] == end[0], p[1] == end[1])) # Make sure the path is unique: for i in range(len(path)): for j in range(len(path)): if j <= i: continue s.add(Or(path[i][0] != path[j][0], path[i][1] != path[j][1])) # Compute the path: if s.check() == sat: model = s.model() walk = [] for p in path: cur = [model[p[0]].as_long(), model[p[1]].as_long()] walk.append(cur) if (cur[0] == end[0] and cur[1] == end[1]): break return walk else: return None # Example usage matrix = [[1, 1, 1, 0], [1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0], [1, 0, 0, 0]] start = (3, 0) end = (2, 2) path = find_path(matrix, start, end) if path: print("Valid path found:") for cell in path: print(f"({chr(ord('A') + cell[0])}{cell[1] + 1})") else: print("No valid path found.")
注意事项和总结
- 建模是关键： 使用 Z3 解决问题的关键在于正确地将问题建模为约束。 在这个问题中，为路径创建变量而不是为矩阵中的每个单元格创建变量，可以更有效地表达约束。
- 性能： Z3 的性能取决于问题的复杂性。 对于较大的矩阵，可能需要调整约束或使用更高级的技术来提高性能。
- 唯一性约束： 确保路径中的所有位置都是唯一的，这对于避免循环至关重要。
通过使用 Z3 定理证明器，我们可以有效地找到冰冻湖上的安全路径。 这种方法可以推广到其他寻路问题，只需根据特定问题的要求调整约束即可。